números

Capítulo 1 Los Números reales

Los Números reales

l. Introducción y objetivos.

Una buena parte de las definiciones, propiedades y objetos matemáticos que aparecen ya son conocidos por el lector. Por ejemplo, los números racionales, los poli­nomios, los vectores del plano, las aplicaciones y sus propiedades, etc. ya han sido tratados en etapas anteriores.

1.1. Los números

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Desde el principio los seres humanos tuvieron la necesidad de contar las cosas, es decir, de contar los elementos que constituían un determinado con­junto.

Emplearon para ello los números naturales  N = O, 1, 2, 3, … , n, … , entre los que en principio incluímos el cero por ser el número de elementos que contiene el conjunto vacío, es decir, el conjunto que no posee ningún elemento.

Sin embargo, consideraremos que O no pertenece a los números naturales si tratamos cuestiones de orden (números ordinales).

Por ejemplo en las sucesiones, ya que el primer término lo asociamos a 1, el segundo a 2, el tercero a 3, etc.

Tampoco lo incluiremos en el caso en que n sea la variable de una expresión aritmética para la que n = O no tenga sentido.

Al número n de elementos de un conjunto M le llamamos cardinal de M.

Aparece así de forma muy clara e intuitiva la noción de suma n + m de dos números naturales como cardinal de la unión de dos conjuntos. Consecuencia de ello es la noción de producto n x m como suma n veces de m consigo mismo.

El hombre comenzó a deber· y atribuyó el signo menos al número de elementos que adeudaba.

La unión de esta clase de números negativos y los números naturales constituyen los números enteros cuya existencia permite resolver la ecuación x + a = b, cualesquiera que sean a y b pertenecientes a Z.

Z = …. , -n, … , -3, -2, -1, O, 1, 2, 3, … , n, … ,

Se definían también en Z las operaciones suma y producto como extensión de las de N ( el producto mediante la conocida regla de los signos). Asimismo se introducía en Z el concepto de divisibidad o cociente exacto de dos números y se generalizaba el orden de N.

El tamaño de algunos objetos, suceptibles de poder ser divididos en partes iguales, creó de nuevo la necesidad de ampliar la clase de los números.

Aparece así los números racionales Q, término que procede de ración o parte y no de razonamiento o pensamiento racional.

Un número racional es el cociente p/ q de dos números enteros con denominador q distinto de cero, es  decir: una fracción ordinaria.

Como todas las fracciones equivalentes ( p_ = p__ q q’:3Í y solo si pq’ = p’ q) representan al mismo número racional, se considera co-n10 representante canónico del número a la fracción irreducible (aquella
en que p y q no tienen divisores comunes).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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